viernes, 28 de diciembre de 2007

Dos caballos

Esta es una variante de un problema que leí en Mathemagics & Math Puzzles.

Tenemos un tablero de ajedrez y dos caballos. Podemos colocar los caballos en dos casillas diferentes cualesquiera.

Empezamos a moverlos, pero con la condición de que nunca pueden pisar una casilla ya pisada por alguno de ellos.

¿Cuál será la secuencia de movidas más larga que podamos hacer?

¿Y si fueran un caballo y una torre?

¿Y si fueran otras dos piezas cualesquiera?

miércoles, 21 de noviembre de 2007

Las hormigas

Tres hormigas puntuales caminan por un campo cuadrado, con velocidad constante y rebotando perfectamente en sus bordes.

Para cada valor natural de K, queremos encontrar puntos iniciales, velocidades y direcciones para las hormigas, tales que haya exactamente K puntos distintos del cuadrado en los que las hormigas coincidan, caminando lo suficiente.

¿Se podrá hacer para todo K?

Una vez logrado para cierto K, ¿coincidirán las hormigas una cantidad finita o infinita de veces en esos puntos?

jueves, 11 de octubre de 2007

Álgebrol


Álgebrol es un juego algebraico para dos jugadores. El tablero es un árbol binario completo como el de la figura (o más grande, si los jugadores tienen paciencia).
Se juega por turnos. En su turno, un jugador puede poner un dígito cualquiera en una de las hojas (los que no tienen «hijos») o bien una operación en cualquier otro nodo. Las operaciones permitidas son + (suma), - (resta), * (producto), / (cociente) y ^ (potencia).

Cuando el árbol está lleno, se lo evalúa.
Por ejemplo, en esta partida:

la expresión correspondiente es ((2+6)+(8^1))-((0/9)+(9*3)), cuyo resultado es -11.

Uno de los jugadores gana si el resultado final es positivo, y el otro gana si es negativo. Los roles se pueden elegir al comenzar el partido, o se puede jugar sin roles iniciales, y cualquiera de los jugadores puede resignar una movida a cambio de decidir cuál es su objetivo.

Si la expresión no puede ser evaluada (ya sea porque contiene una división por cero o alguna potencia ilegal) se declara empate.

martes, 11 de septiembre de 2007

Hackenstrings bidireccional

Este juego es una versión bidireccional del Hackenstrings.

Se comienza con varias hileras de piedras blancas y negras. Se juega por turnos.

El jugador izquierdo puede tomar, en su turno, cualquier piedra blanca y todas las que estén a su izquierda (en una sola hilera).
El jugador derecho puede tomar cualquier piedra negra y todas las que estén a su derecha (en una sola hilera).

El que no puede jugar en su turno, pierde.

¿Habrá una estrategia general del juego?

miércoles, 6 de junio de 2007

Blanqueando el tablero


Tenemos un tablero de ajedrez, y lo vamos transformando con la siguiente mecánica.

En cada movida, elegiremos dos casillas cualesquiera del tablero; estas casillas definirán un cuadrilátero de casillas, a todas las cuales cambiaremos de color: de blanco a negro y de negro a blanco.


¿Cuántas movidas serán necesarias, como mínimo, para dejar todas las casillas blancas?

jueves, 31 de mayo de 2007

Uniendo triángulos

Tenemos 13 triángulos equiláteros iguales entre sí. Fijamos uno de ellos al plano, y vamos fijando los demás uno por uno, de manera que uno y sólo uno de sus lados coincida exactamente con un lado de un triángulo ya fijado.


¿Cuántas figuras distintas podremos armar?

miércoles, 2 de mayo de 2007

Los dos premios

Este problema está inspirado en algunos de Raymond Smullyan. Por supuesto, sus problemas son mucho mejores que este.

En un concurso hay dos premios, el A y el B. El participante debe formular un enunciado. Si el enunciado es cierto, entonces gana uno de los dos premios (el presentador elige cuál) ; si el enunciado es falso, entonces gana el premio B.

¿Qué enunciado debe formular el participante para asegurarse de ganar el premio A? Si no existe tal enunciado, demostrarlo.

viernes, 27 de abril de 2007

Boggle numérico

Queremos armar un Boggle donde se puedan leer los números del uno al millón (en notación decimal).

¿De qué tamaño deberá ser el tablero, como mínimo?

miércoles, 18 de abril de 2007

Rotando sumas

Tomemos un cuadrado de 3x3 lleno de dígitos y sumemos las filas como si fueran tres números de tres cifras:

324
553
807
----
1684

Ahora giremos el cuadrado para obtener tres nuevas sumas:

324 437 708 853
553 250 355 052
807 358 423 734
---- ---- ---- ----
1684 1045 1486 1639

El problema que propongo hoy es lograr cuatro sumas diferentes, pero lo más cercanas entre sí que podamos. Es decir, minimizar la diferencia entre la mayor y la menor de las sumas.

miércoles, 11 de abril de 2007

Ajedrez pacifista

En el ajedrez pacifista, las piezas no deben comer ni amenazar jamás una pieza ajena. El jugador que se ve forzado a amenazar una pieza ajena, pierde.

¿Cuál es la partida más breve posible de ajedrez pacifista?

(Aclaración: la última movida debe ser forzada.)

viernes, 9 de marzo de 2007

Concurso televisivo

Dos jugadores se enfrentan en un programa televisivo.
El premio por el cual compiten es, al principio, de 1000 pesos.
Cada jugador arroja tres dados, suma los puntajes, y decide si tira de nuevo o se planta. Ningún jugador sabe cuántas tiradas hace el otro antes de plantarse, ni los puntajes que va sacando. Cada vez que un jugador decide tirar de nuevo, el premio se reduce a la mitad.
Cuando ambos se han plantado, el que obtuvo la suma más alta en su última tirada gana el premio. Si empatan, se lo reparten.

¿Cuál será la estrategia más racional para jugar a este juego?

Aclaración: se supone que los jugadores no se ponen de acuerdo, y que su objetivo es ganar la mayor cantidad de dinero.

viernes, 23 de febrero de 2007

Resolviendo el cubo

Todos hemos intentado resolver el cubo de rubik. Algunos con éxito, y a distintas velocidades o con distintos condimentos: con los pies, con los ojos vendados, etc.

Ahora bien, todas las soluciones que conozco requieren girar todas las caras en algún momento.

¿Se podrá resolver el cubo de rubik sin mover algunas de las caras?
¿Cuántas podrán quedarse quietas y aún así poder resolver cualquier posición inicial?

viernes, 16 de febrero de 2007

Calculadora defectuosa

A mi calculadora le falta la tecla + y la tecla -, pero tiene las teclas * y /.

¿Hay alguna forma fácil de hacer sumas y restas con ella?

jueves, 8 de febrero de 2007

Apretones de mano y besos

Esta es una variación de un conocido acertijo.

El otro día fui a una fiesta con mi novia. Llegamos junto con los demás invitados. Algunos pares personas se saludaron con un beso, otros con un apretón de manos, y otros no se saludaron. Cuando terminaron los saludos, les pregunté a todos cuántos apretones de mano dieron, y cuántos besos. Todos los números que usaron para responderme fueron distintos.

¿Cuál es la menor cantidad de gente que podría haber estado en la fiesta?
¿Habrá una cantidad máxima?

martes, 6 de febrero de 2007

Diccionario trucado

Todos hemos jugado alguna vez a la búsqueda en el diccionario. Consiste en decirle una palabra al otro jugador, y que éste encuentre la página donde está la palabra mirando la menor cantidad posible de páginas.

La estrategia común consiste en una búsqueda binaria, ligeramente modificada para tener en cuenta las cantidades relativas de palabras que comienzan con cada letra.

Ahora bien, supongamos que podemos trucar un diccionario, duplicando a nuestro antojo cualquier página del diccionario cuantas veces querramos, pero siempre poniendo las copias donde deben ir.

¿Qué distribución de cantidades de página será la que haga más difícil para el oponente encontrar la palabra "ingenuo", por ejemplo?

sábado, 3 de febrero de 2007

Maximizar las diferencias

El objetivo de este primer problema es ubicar los números del 1 al 15, sin repetirlos, en los círculos del diagrama, de manera que la suma de todas las diferencias absolutas entre números vecinos sea la máxima posible.

Una linda generalización sería encontrar el patrón para ubicar los números de 1 a N para cualquier diagrama basado en un número triangular N.