Un pequeño acertijo basado en aquellas famosas tres puertas.
Un presentador nos muestra tres puertas cerradas, detrás de las cuales hay premios en efectivo. Los valores de los premios son cantidades enteras de pesos, elegidas al azar entre 1 peso y 100 pesos. Los valores podrían repetirse.
Mientras las tres puertas están aún cerradas, nosotros elegimos una de las puertas.
Luego de nuestra elección, el presentador (que sabe qué premios hay) abre, de las dos puertas restantes, la que tenga el menor premio (si ambas tienen el mismo premio, elige una al azar).
A continuación nos ofrece una elección: podemos seguir con la puerta que habíamos elegido, o cambiar a la otra que aún está cerrada.
¿Qué nos convendrá hacer, en función de lo que veamos tras la puerta que él abre?
2 comentarios:
Ok, llamemos A y B a las dos puertas no escogidas. C será la puerta que hemos escogido a priori.
La distribución de premios de C es una uniforme entre 1 y 100 de manera que la esperanza si nos quedamos con C es de 50,5 pesos.
Por otra supongamos sin pérdida de generalidad que A>=B así que toca calcular la distribución del premio que se oculta tras A. Es relativamente sencillo usar argumentos geométricos para demostrar que la distribución de premios de A tiene forma de trapecio rectángulo (girado 90º) cuya base grande es proporcional a 100-1, la base pequeña es proporcional a Valor(B)-1 y la altura es proporcional a 100-Valor(B).
El argumento geométrico consiste en representar los valores de las parejas de AxB en un cuadrado de tamaño (100-1)x(100-1) y quedarse con el triángulo que cumple la desigualdad A>=B para luego quedarse, de ese triángulo con el trapecio rectángulo que cumple A>=Valor(B). Eso nos deja un área donde la pareja (Valor(A),Valor(B)) que ha salido escogida puede estar en cualquier punto con igual probabilidad.
En resumidas cuentas el valor esperado para la opción "cambiar de puerta" es siempre mayor o igual que el valor esperado de quedarse con la puerta C y por lo tanto lo mejor es cambiar.
¡Gracias Carlos por el análisis!
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