sábado, 5 de julio de 2008

Valor predictivo

El valor predictivo de un número natural es K si y sólo si sus primeros K dígitos no nulos "predicen" los demás. La predicción se hace multiplicándolos entre sí.

Por ejemplo:
  • El valor predictivo de 326, que denotaremos P(326), es 2, porque 3x2 = 6.
  • P(4320024) = 3, ya que 4x3x2 = 24.
Si no se puede hacer la predicción, el valor predictivo es nulo; por ejemplo, P(31) = 0.

La pregunta concreta es ¿cuántos números de valor predictivo nulo hay entre uno y un millón?

La pregunta más abstracta es ¿tendrá la serie P(n) alguna propiedad interesante?

7 comentarios:

luisito dijo...

Una propiedad interesante: Todos los numeros cuyos ultimos dos digitos son "33" tienen valor predictivo nulo, es decir que P(n)=0 si n termina en "33".

derkeNuke dijo...

¿133?
¿1033?
¿1133?

Todavía estoy buscando normas como esa, pero creo que hay pocas; por no decir que no hay.

derkeNuke dijo...

Me corrijo a mi mismo en el anterior comentario: 1033 no es Predictivo, ó P(1033)=0 porque 1*0!=33 y 1*0*3!=3.

El primer predictivo lo será con P=2, ya que P=1 no existe según he entendido: 33 no tiene P=1, sino que es P=0. Luego el primero es 111 con P(111)=2 y el último hasta 1M será 999729 con P(999729)=3. El máximo P será 5 con números como P(211112) porque 6 cifras es nuestro máximo.

Con P(x)>=2 hay 3028 números.
Se desglosan en:
Los P(x)===2 son 266.
Los P(x)===3 son 1191.
Los P(x)===4 son 1460.
Los P(x)===5 son 111.

Al parecer no encuentro ninguna propiedad atractiva en la función P ni ninguna distribución aparente. Cuanto más grande es el número más dificil es que sea Predictivo.

Si alguien más lo ha intentado sería interesante confirmar el resultado.


Saludos.

derkeNuke dijo...

Tengo 36 elementos en duda, que no sé si tienen P=1 o no. En el post habla de "sus primeros K dígitos", en plural. Si es un solo dígito el primero ¿no vale? Son únicamente estos:
100001, 10001, 1001, 101, 200002, 20002, 2002, 202, 300003, 30003, 3003, 303, 400004, 40004, 4004, 404, 500005, 50005, 5005, 505, 600006, 60006, 6006, 606, 700007, 70007, 7007, 707, 800008, 80008, 8008, 808, 900009, 90009, 9009 y 909.

¿Se podría considerar que tienen P=1? En caso afirmativo no habría 3028 elementos, sino 3064.

He investigado el tema por varios métodos, así que lo doy por solucionado.

Un saludo.

Marcos dijo...

Derkenuke: los elementos que mencionás tienen P=1. Usé el plural como una manera coloquial de referirme a un conjunto genérico.

¡Gracias por tus análisis!

luisito dijo...

Que nabo. No me di cuenta de contraejemplos como el 133. Mi error fue porque supuse que los digitos que se multiplicaban no incluian a ninguno de los dos '3'. Aqui va la propiedad interesante corregida.

Todo numero que termina en 31 tiene valor predictivo cero.

Les anticipo que hay muchos numeros de dos digitos con esa propiedad. Otros podrian ser 93, 71, 73, 79, 97, 51, 53, 57, 59, 91, etc...

El 33 falla por poco. Los unicos contraejemplos posibles son:
133, 1133, 11133, 111133, 1111133, 11111133,...

luisito dijo...

Una propiedad no tan interesante pero cierta. Para todo m entero, existe algun n entre m y 10m que tiene valor predictivo no nulo.

Me pregunto si se podra mejorar el factor 10. Me pregunto si sera cierto que la cantidad de numeros menores a N con valor predictivo no nulo es del orden de N/log N. Eso si seria interesante.