Los dos arcos

Sobre una esfera elegimos cuatro puntos al azar, y los unimos de a dos con arcos mínimos.
¿Cuál es la probabilidad de que los dos arcos compartan algún punto, como en la imagen?

Histogaritmos

Primero, la definición de histogaritmo (medio rebuscada pero luego de un rato se hace natural).

Supongamos que tenemos una lista no vacía de números. Por ejemplo:

L = [1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4] (ordenar la lista no es necesario, pero es práctico)

Calculamos su histograma H(L), que consiste en las cantidades de cada grupo de números iguales:

H(L) = [1, 2, 3, 3] (porque en L hay 1 cuatro, 2 dos, 3 unos y 3 treses)

y luego hacemos el histograma del resultado:

H^2(L) = [1, 1, 2]

y así siguiendo hasta que llegamos a un resultado con un solo elemento (en este caso, tras tres pasos más):

H^3(L) = [1, 2]

H^4(L) = [1, 1]

H^5(L) = [2]

Como iteramos 5 pasos para llegar a una lista unitaria, decimos que 5 es el histogaritmo de L.

Ahora, el problema:

Dado un natural N, ¿Cómo construir una lista de N elementos que tenga el mayor histogaritmo posible?

Dadivosidad

Este es un juego ralo con azar, con el que soñé anoche. Juegan dos jugadores, usando un dado común.

Uno de los jugadores toma el dado, lo arroja, y decide cuál de estas dos cosas hacer:

• Anotarse los puntos que indica el dado y ceder el turno al otro jugador.
• Anotarle al otro jugador los puntos que indica el dado, pero retener el turno.

Esto se repite una y otra vez (cambiando o no de turno, según las decisiones de los jugadores), hasta que uno de los jugadores llega a 50 puntos, y es declarado ganador.

¿Habrá una estrategia que maximice la probabilidad de ganar para el primero o segundo jugador?

El segmento monocromático

Demostrar o refutar lo siguiente:

De cualquier forma que pintemos el plano con dos colores, siempre habrá un segmento unitario cuyos puntos sean todos de un mismo color.

¿La versión original del Tonga?

He aquí una variante del Tonga que jugué hoy y encontré bastante buena. Es similar a las otras dos variantes que he mencionado pero más libre aún.

• Juegan dos jugadores, sobre un tablero cuadriculado. Puede servir uno de ajedrez.
• Uno de los jugadores apunta a construir islas de fichas blancas; el otro, a construir islas de fichas negras. Las islas son grupos de fichas del mismo color, conectadas por los lados (como las cadenas del Go).
• En su turno, cada jugador coloca dos fichas: una blanca y una negra, en dos casillas desocupadas del tablero.
• Cuando el tablero se llena, el que haya formado la isla más grande de su color gana la partida. Si hay empate, se desempata sucesivamente con islas más pequeñas.

Si mi memoria no falla, fue esta la primera versión que sugirió Iván y que probamos con el Grupo de los Lunes, pero no puedo recordar si la descartamos por algún fallo serio (más allá de cierto problema de simetría que se puede arreglar fácilmente).


Si algún GrupoLunero lee esto agradeceré si me corrige o confirma.

Dominando el tablero de ajedrez

Queremos dominar un tablero de ajedrez, esto es, cubrirlo con 32 fichas de dominó (como en tantos acertijos clásicos, cada ficha cubre exactamente dos casillas, en posición horizontal o vertical).
Hay muchísimas maneras de hacerlo; sin embargo, cada ficha que colocamos reduce la cantidad de maneras de colocar las siguientes.
La pregunta es: ¿Cuál es la cantidad mínima de fichas que hay que colocar en el tablero para que haya una única manera de colocar el resto de las fichas?
Aclaremos que consideramos a todas las fichas como si fueran indistinguibles; sólo nos interesa su posición relativa en el tablero.

Burr Tools, una gran herramienta

Recomiendo este programa a todos los que gusten de inventar problemas de empaquetamiento o cardos.

Norrep

Update: presenté este juego (con el nombre más rimbombante Zuniq) en este concurso. Espero tener suerte...


Este juego es una linda variante del Dots and Boxes que se me ocurrió hoy. Quizá la haya reinventado sin querer; si alguien vio el juego anteriormente, no deje de avisarme.

Se comienza con un conjunto de puntos marcados, como en la figura.

Por turno, los jugadores unen dos puntos vecinos marcando una línea, siempre en horizontal o vertical.

Cuando queda delimitada una zona, ésta se grisa y ya no se pueden marcar líneas en su interior. Debe tomarse nota de su tamaño en casillas. En este ejemplo se cierra una zona de tamaño 3:

No es importante qué jugador cierra qué zona.

Las zonas pueden tener cualquier forma y contener en su interior líneas anteriormente marcadas. Por ejemplo, luego de varias jugadas más podría cerrarse una zona de tamaño 7:

No está permitido cerrar una zona del mismo tamaño que alguna previamente cerrada.

El jugador que no puede mover es el perdedor.

Pruébenlo, que vale la pena. Recomiendo tableros de 5 puntos de lado para principiantes, y de 10 o más para iniciados.

¿Habrá estrategias simples como la del Dots and Boxes?

Otro de pesadas

Nos dan cuatro objetos que lucen iguales pero que pesan uno, dos, tres y cuatro kilogramos respectivamente. Nuestra misión es ordenar los objetos por peso usando una balanza de dos platillos, con la condición de que en cada pesada debemos poner dos objetos en cada platillo.

¿Se podrá siempre ordenar los objetos?
¿Cuántas pesadas serán necesarias para hacerlo de forma óptima?

(Obviamente el problema se puede generalizar a 2N objetos con pesos de 1 a 2N, siempre poniendo N objetos en cada platillo en las pesadas.)

Cercos

Cercos es un juego basado en la idea del Norrep, pero más laxo. Se juega en un papel tachonado de puntos arbitrariamente colocados por ambos jugadores. Recomiendo jugar con no menos de 10 puntos.

Una movida consiste en unir dos puntos del tablero con un segmento recto. Los segmentos sólo pueden compartir punto en sus extremos.

Eventualmente habrá movidas que formen un cerco alrededor de una zona. Cuando se cierra un cerco, ya no se pueden trazar segmentos en su interior.

No importa quién forme un cerco; pero está prohibido formar cercos que tengan el mismo perímetro que algún cerco ya formado. Se define el perímetro de un cerco como la cantidad de segmentos de su borde.

Ejemplo: en la imagen hay de la derecha hay tres cercos, uno de perímetro 4, uno de perímetro 6 (el segmento de su interior no cuenta como borde) y otro de perímetro 14 (los ocho exteriores y los 6 interiores). Obviamente, el exterior se definió después que el interior.

El jugador que en su turno no puede trazar ningún segmento nuevo es el perdedor.

Empaquetando círculos

Tenemos N círculos, cuyos radios van de 1 a N.
¿Cómo empaquetarlos de manera que quepan (sin solaparse) en el círculo más chico posible?

Update: Al parecer este problema se usó en este concurso hace tiempo.

Plano y colores

Alguien pintó el plano de 3 colores.

¿Se puede asegurar que habrá siempre 3 puntos equidistantes entre sí y que sean o bien todos del mismo color o bien todos de diferente color?

Duality

Duality es un pequeño juego experimental, consistente en poblar un tablero con piezas blancas y negras. Cada pieza debe colocarse en un espacio del color opuesto, y se convierte a su vez en espacio de su color.
Pueden jugarlo clickeando en la imagen:

Cualquier sugerencia será más que bienvenida.

Hipercaja

¿Se puede llenar una hipercaja de 5x6x7x8 con hiperladrillos de 1x2x3x4?

(parafraseado de un problema de la olimpíada Paenza que me comentó Julián)

Escalada

Escalada es una variación del Zebra, que tiene la ventaja de evitar los empates por juego infinito (el otro día jugamos algunos partidos de Zebra con unos amigos y esa situación se daba bastante).

La variación consiste en prohibir que una ficha pase a una pila de altura menor o igual que la pila en que estaba. O sea, sólo vale mover una pieza si queda a una altura mayor que al comenzar la movida.

Pentominós mutantes

Este es un pequeño juego de lápiz y papel que probé el otro día, especial para los expertos en pentominós.
En una retícula de 5x5 casillas, se marcan 5 de ellas con circulitos; estas casillas deberán formar uno de los 12 pentominós, a elección de los jugadores (también pueden turnarse para ir trazando los circulitos a partir de una retícula vacía).
Luego, las movidas consisten en tachar un circulito y dibujar otro en una casilla vacía, mutando así el pentominó formado en ese momento. El resultado de la mutación debe ser, por supuesto, otro pentominó. Las casillas ya tachadas no formarán más parte del juego.
El jugador que no pueda formar un pentominó o repita uno ya formado anteriormente es el perdedor.
Conviene dibujar en un papel auxiliar los 12 pentominós para ir marcando los ya usados.
Si se tiene papel cuadriculado, se puede probar una variante: comenzar con una cuadrícula suficientemente grande para no tener límites de tamaño predeterminados.

Juego encontró nombre: Zebra

(Update: ya me decidí por el nombre: Zebra. ¡Gracias por las sugerencias!)

Hace unos días venía con la idea de hacer un juego que usara un sistema fondo/figura ambiguo: que las piezas de cada jugador fueran el tablero del otro.

Se me ocurrió este juego, que probé varias veces y parece ser interesante.

El tablero (puede ser de 4x4 como en la figura, o más grande) comienza con una torre de una pieza en cada casilla, en disposición de colores alternada.

La pieza superior de una torre (al comienzo las torres son de una sola pieza, pero luego irán creciendo) le da su color a la torre y a la casilla en que está.

En su turno, cada jugador debe mover una pieza propia que esté en el tope de una torre a cualquier casilla vecina (ortogonal o diagonalmente) que sea del color opuesto.

No captura las piezas que allí haya, sino que coloca la suya encima, cambiando así el color de la torre y la casilla, al pasar a ser la pieza superior.

De esta manera las torres van creciendo y decreciendo, pero siempre tendrán piezas de colores alternados en su formación. Sólo importará el color de la pieza superior.

Las casillas que quedan vacías ya no pueden ser ocupadas por ningún jugador.

Cuando un jugador no pueda mover en su turno, el partido termina, y el jugador cuyo color sea el de la mayoría de las torres será el ganador. En caso de empate, gana el último jugador que pudo mover.

No dejen de probarlo, es sencillo de implementar con fichas de Damas o Póker.

Aquí hay una implementación para el programa Zillions of Games.

Armando pentominós

Tenemos un tablero de 5x5, con fichas blancas y grises, salvo un hueco negro.
Como muestra la figura, en la posición inicial las fichas blancas forman el pentominó I.
El juego consiste en ir desplazando las fichas usando el hueco (como en el juego del 15 de Sam Lloyd) hasta formar otro pentominó con las fichas blancas; luego mover de nuevo las piezas para formar un tercero, etcétera, hasta haber formado los 12 pentominós.

¿Cuál será la cantidad mínima de movidas necesarias?

Concatenando primos

Tomemos un número, digamos T. Calculamos sus factores primos, y los concatenamos todos de menor a mayor, obteniendo otro número, digamos U. Repetimos el proceso con U, obteniendo V, etc.

¿Llegaremos siempre a un número primo, cualquiera sea el T inicial?

Secuencias buscadoras

Dada una secuencia numérica infinita S, definimos su buscadora B(S) de la siguiente manera:

• Primero concatenamos los dígitos de todos los números de S, formando una ristra infinita de dígitos. Ejemplo: si S es la secuencia de números primos, la ristra comenzaría 23571113171923293137414347...
  
• Luego buscamos, para cada número entero positivo N, la primera aparición de N en la ristra de dígitos. Este índice será el valor N de la buscadora de S, o sea B(S)(N). En el ejemplo, B(S) comenzaría 5, 1, 2, 21, 3...
  Si un número no figura en la ristra de dígitos, su valor en B(S) será 0.

La primera pregunta es: ¿de cuál secuencia es buscadora la siguiente secuencia?

1, 6, 8, 2, 7, 5, 59, 14, 3, 16, 15, 19, 102, 1, 91...

La segunda pregunta es: ¿Hay alguna secuencia que sea su propia buscadora? Si las hay, ¿cuántas habrá?