Armando pentominós

Tenemos un tablero de 5x5, con fichas blancas y grises, salvo un hueco negro.
Como muestra la figura, en la posición inicial las fichas blancas forman el pentominó I.
El juego consiste en ir desplazando las fichas usando el hueco (como en el juego del 15 de Sam Lloyd) hasta formar otro pentominó con las fichas blancas; luego mover de nuevo las piezas para formar un tercero, etcétera, hasta haber formado los 12 pentominós.

¿Cuál será la cantidad mínima de movidas necesarias?

Concatenando primos

Tomemos un número, digamos T. Calculamos sus factores primos, y los concatenamos todos de menor a mayor, obteniendo otro número, digamos U. Repetimos el proceso con U, obteniendo V, etc.

¿Llegaremos siempre a un número primo, cualquiera sea el T inicial?

Secuencias buscadoras

Dada una secuencia numérica infinita S, definimos su buscadora B(S) de la siguiente manera:

• Primero concatenamos los dígitos de todos los números de S, formando una ristra infinita de dígitos. Ejemplo: si S es la secuencia de números primos, la ristra comenzaría 23571113171923293137414347...
  
• Luego buscamos, para cada número entero positivo N, la primera aparición de N en la ristra de dígitos. Este índice será el valor N de la buscadora de S, o sea B(S)(N). En el ejemplo, B(S) comenzaría 5, 1, 2, 21, 3...
  Si un número no figura en la ristra de dígitos, su valor en B(S) será 0.

La primera pregunta es: ¿de cuál secuencia es buscadora la siguiente secuencia?

1, 6, 8, 2, 7, 5, 59, 14, 3, 16, 15, 19, 102, 1, 91...

La segunda pregunta es: ¿Hay alguna secuencia que sea su propia buscadora? Si las hay, ¿cuántas habrá?

Constelaciones

Dado un conjunto de puntos sobre el plano, llamo constelación a un recorrido cerrado que una todos los puntos y que no se corte a sí mismo.

El problema es simple: demostrar que todo conjunto de N puntos (N > 2) tiene una constelación, o encontrar algún contraejemplo.

(Update: pueden probar el jueguito que estaba haciendo cuando se me ocurrió la pregunta. El juego usa otro tipo de constelación.)

Segundo juego ralo: Con Permiso

Update: ya nos parecía que un juego tan elegante y minimalista tenía que existir de antes. De hecho se llama juego de Lewthwaite, aunque dejaremos para este post el nombre Con Permiso porque me gusta más, jeje)

El Con Permiso es el segundo juego en nuestra biblioteca de juegos ralos. Recordemos que un juego ralo es un juego con pocas movidas posibles en cada posición.

El tablero comienza como en la figura; las fichas mueven una casilla en horizontal o vertical. No hay capturas. En el ejemplo, comenzaría a mover el jugador verde.

El objetivo es ahogar al oponente, para que no pueda mover.

Este juego tiene un factor de ramificación promedio de 1.5 aproximadamente, y parece bastante jugable.

¿Habrá estrategia ganadora para alguno de los dos jugadores? Sospechamos que el segundo puede ganar siempre, pero aún no lo demostramos.

¿Cómo será el juego en tableros de distinta forma y/o tamaño?