Uno de pesadas

Tenemos 14 objetos, de pesos indeterminados.
También tenemos una balanza de dos platillos, con la cual podemos comparar cualquier par de objetos o grupos de objetos, y saber cuál objeto o grupo es el que pesa más.
Queremos ordenar los objetos por peso, y para ello queremos usar la menor cantidad posible de pesadas.
¿Cómo hacerlo?

Prohibido el 7

Simon Tatham plantea y resuelve un interesante problema: diseñar un par de dados para que al arrojarlos nunca salga el 7, y al mismo tiempo los demás valores del 2 al 12 tengan las mismas probabilidades de salir que con un par de dados normales.

La solución de Tatham es bastante ingeniosa pero algo perturbadora; de manera que me puse a buscar una solución más directa al problema.

Update: Mi solución es hacer dos dados con valores no enteros (admite pequeñas variaciones en los valores):

primer dado: 0.0, 1.2, 2.4, 4.3, 5.5, 6.7

segundo dado: 2.6, 3.7, 4.1, 4.4, 5.7

Una desventaja de esta solución es que requiere usar un dado de 5 caras (o de 10 repitiendo los valores).

Quizá algún lector encuentre otro tipo de solución.

Pequeño acertijo

Estaba imprimiendo números.

¿Por qué imprimí primero los naturales y luego los reales?

Zigurates

(nota: Jaime Poniachik planteó la idea de los zigurates lineales, yo sólo modifiqué la dimensión)

Un zigurate es una estructura escalonada similar a una pirámide, pero posiblemente truncada, como la de la figura. Cada piso es cuadrado, y tiene dos ladrillos más de cada lado que el piso superior.

Hay zigurates que son distintos entre sí, pero que usan la misma cantidad de ladrillos. Por ejemplo, el de una sola capa de lado 10 y el de dos capas de lados 8 y 6 usan ambos 100 ladrillos, y son los únicos que usan esta cantidad.

En general, indicaremos con la función Z(n) la cantidad de zigurates distintos que se pueden construir con n ladrillos. Ejemplos: Z(1) = 1, Z(2) = 0, Z(100) = 2.

La mayoría de los valores de Z son 0. Es trivial ver que hay infinitos Z(n) ≥ 1 (por ejemplo, los números cuadrados). Quizá es menos trivial ver que hay infinitos Z(n) = 2.

Conocemos algunos valores de Z iguales a 3 y 4. Es un buen ejercicio tratar de encontrarlos sin computadora. ¿Habrá infinitos?

Aún no encontramos valores mayores. ¿Existirán?

Buscando la libertad

Este es un juego que se me presentó hoy en sueños.

Dos damas de ajedrez están apresadas en el centro de un tablero lleno de peones que las vigilan.
Cada jugador comanda una de ellas. Se turnan para moverlas normalmente (comiendo peones o moviendo a casillas libres).
Gana el primero que logre que su dama logre la libertad. Esto puede entenderse de varias formas, dando lugar a distintas variantes del juego. Por ejemplo:

• Para partidas cortas, la variante espacio personal: gana el jugador que logre mover su dama al centro de una zona de 3x3 casillas vacías.
• Para partidas más largas, la variante libertad de movimientos: gana el jugador que logre colocar su dama en una posición tal que no esté vigilada por ningún peón, es decir, que no tenga ningún movimiento de captura.

¿Habrá estrategias simples para ambas variantes?