Buscando la libertad

Este es un juego que se me presentó hoy en sueños.

Dos damas de ajedrez están apresadas en el centro de un tablero lleno de peones que las vigilan.
Cada jugador comanda una de ellas. Se turnan para moverlas normalmente (comiendo peones o moviendo a casillas libres).
Gana el primero que logre que su dama logre la libertad. Esto puede entenderse de varias formas, dando lugar a distintas variantes del juego. Por ejemplo:

• Para partidas cortas, la variante espacio personal: gana el jugador que logre mover su dama al centro de una zona de 3x3 casillas vacías.
• Para partidas más largas, la variante libertad de movimientos: gana el jugador que logre colocar su dama en una posición tal que no esté vigilada por ningún peón, es decir, que no tenga ningún movimiento de captura.

¿Habrá estrategias simples para ambas variantes?

Árboles cuadriculados

El otro día me puse a dibujar árboles siguiendo las líneas de una hoja cuadriculada, como en la figura. (Básicamente, un árbol es un grafo conexo sin ciclos).

¿Cuántos árboles de N nodos se podrán dibujar? (Todas las intersecciones del cuadriculado usadas cuentan como nodos).

Valor predictivo

El valor predictivo de un número natural es K si y sólo si sus primeros K dígitos no nulos "predicen" los demás. La predicción se hace multiplicándolos entre sí.

Por ejemplo:

• El valor predictivo de 326, que denotaremos P(326), es 2, porque 3x2 = 6.
• P(4320024) = 3, ya que 4x3x2 = 24.
  

Si no se puede hacer la predicción, el valor predictivo es nulo; por ejemplo, P(31) = 0.

La pregunta concreta es ¿cuántos números de valor predictivo nulo hay entre uno y un millón?

La pregunta más abstracta es ¿tendrá la serie P(n) alguna propiedad interesante?

Boggle cervantino

Hoy, una idea intrigante de Pablo Coll: ¿Cuál será el menor boggle donde entre el Quijote completo?

Precisemos: un boggle es un tablero cuadrado donde cada casilla contiene una letra. Buscamos el menor en el que se puedan ir leyendo todas las letras del Quijote, saltando de una letra a otra que esté vecina ortogonal o diagonalmente. A los efectos del problema ignoraremos acentos, signos de puntuación y mayúsculas (aunque bien podrían incluirse).

Desde ahí, Pablo generaliza algo temerariamente: imagina un Boggle de Babel, donde pueda leerse cualquier texto finito. ¿Existirá? ¿Qué tamaño tendría que tener?

Recorridos proporcionados

Tenemos un tablero de ajedrez infinito. Colocamos una dama, un rey, una torre, dos alfiles (uno en una casilla blanca y otro en una casilla negra) y un caballo, en seis casillas separadas de nuestra elección.

La misión es ir visitando todas las (infinitas) casillas restantes del tablero, de manera que todas las piezas visiten, en el límite, la misma proporción de casillas.

¿Podrá hacerse?