Dos caballos

Esta es una variante de un problema que leí en Mathemagics & Math Puzzles.

Tenemos un tablero de ajedrez y dos caballos. Podemos colocar los caballos en dos casillas diferentes cualesquiera.

Empezamos a moverlos, pero con la condición de que nunca pueden pisar una casilla ya pisada por alguno de ellos.

¿Cuál será la secuencia de movidas más larga que podamos hacer?

¿Y si fueran un caballo y una torre?

¿Y si fueran otras dos piezas cualesquiera?

Las hormigas

Tres hormigas puntuales caminan por un campo cuadrado, con velocidad constante y rebotando perfectamente en sus bordes.

Para cada valor natural de K, queremos encontrar puntos iniciales, velocidades y direcciones para las hormigas, tales que haya exactamente K puntos distintos del cuadrado en los que las hormigas coincidan, caminando lo suficiente.

¿Se podrá hacer para todo K?

Una vez logrado para cierto K, ¿coincidirán las hormigas una cantidad finita o infinita de veces en esos puntos?

Álgebrol

Álgebrol es un juego algebraico para dos jugadores. El tablero es un árbol binario completo como el de la figura (o más grande, si los jugadores tienen paciencia).
Se juega por turnos. En su turno, un jugador puede poner un dígito cualquiera en una de las hojas (los que no tienen «hijos») o bien una operación en cualquier otro nodo. Las operaciones permitidas son + (suma), - (resta), * (producto), / (cociente) y ^ (potencia).

Cuando el árbol está lleno, se lo evalúa.
Por ejemplo, en esta partida:

la expresión correspondiente es ((2+6)+(8^1))-((0/9)+(9*3)), cuyo resultado es -11.

Uno de los jugadores gana si el resultado final es positivo, y el otro gana si es negativo. Los roles se pueden elegir al comenzar el partido, o se puede jugar sin roles iniciales, y cualquiera de los jugadores puede resignar una movida a cambio de decidir cuál es su objetivo.

Si la expresión no puede ser evaluada (ya sea porque contiene una división por cero o alguna potencia ilegal) se declara empate.

Hackenstrings bidireccional

Este juego es una versión bidireccional del Hackenstrings.

Se comienza con varias hileras de piedras blancas y negras. Se juega por turnos.

El jugador izquierdo puede tomar, en su turno, cualquier piedra blanca y todas las que estén a su izquierda (en una sola hilera).
El jugador derecho puede tomar cualquier piedra negra y todas las que estén a su derecha (en una sola hilera).

El que no puede jugar en su turno, pierde.

¿Habrá una estrategia general del juego?

Blanqueando el tablero

Tenemos un tablero de ajedrez, y lo vamos transformando con la siguiente mecánica.

En cada movida, elegiremos dos casillas cualesquiera del tablero; estas casillas definirán un cuadrilátero de casillas, a todas las cuales cambiaremos de color: de blanco a negro y de negro a blanco.

¿Cuántas movidas serán necesarias, como mínimo, para dejar todas las casillas blancas?