Cercos

Cercos es un juego basado en la idea del Norrep, pero más laxo. Se juega en un papel tachonado de puntos arbitrariamente colocados por ambos jugadores. Recomiendo jugar con no menos de 10 puntos.

Una movida consiste en unir dos puntos del tablero con un segmento recto. Los segmentos sólo pueden compartir punto en sus extremos.

Eventualmente habrá movidas que formen un cerco alrededor de una zona. Cuando se cierra un cerco, ya no se pueden trazar segmentos en su interior.

No importa quién forme un cerco; pero está prohibido formar cercos que tengan el mismo perímetro que algún cerco ya formado. Se define el perímetro de un cerco como la cantidad de segmentos de su borde.

Ejemplo: en la imagen hay de la derecha hay tres cercos, uno de perímetro 4, uno de perímetro 6 (el segmento de su interior no cuenta como borde) y otro de perímetro 14 (los ocho exteriores y los 6 interiores). Obviamente, el exterior se definió después que el interior.

El jugador que en su turno no puede trazar ningún segmento nuevo es el perdedor.

Empaquetando círculos

Tenemos N círculos, cuyos radios van de 1 a N.
¿Cómo empaquetarlos de manera que quepan (sin solaparse) en el círculo más chico posible?

Update: Al parecer este problema se usó en este concurso hace tiempo.

Plano y colores

Alguien pintó el plano de 3 colores.

¿Se puede asegurar que habrá siempre 3 puntos equidistantes entre sí y que sean o bien todos del mismo color o bien todos de diferente color?

Duality

Duality es un pequeño juego experimental, consistente en poblar un tablero con piezas blancas y negras. Cada pieza debe colocarse en un espacio del color opuesto, y se convierte a su vez en espacio de su color.
Pueden jugarlo clickeando en la imagen:

Cualquier sugerencia será más que bienvenida.

Hipercaja

¿Se puede llenar una hipercaja de 5x6x7x8 con hiperladrillos de 1x2x3x4?

(parafraseado de un problema de la olimpíada Paenza que me comentó Julián)