Triángulos

Este problema es una idea derivada de uno que vi aquí. Allí demuestran que ningún triángulo puede tener lados distintos e iguales a tres números de Fibonacci.

Me pregunto: ¿habrá un conjunto más denso que el de Fibonacci que cumpla lo mismo?

Con denso me refiero a haya menos espacio entre términos sucesivos (se puede definir de muchas maneras, pero supongo que entenderán el sentido intuitivo).

Lanzando la moneda

Arrojo una moneda y voy llevando la cuenta de las caras y cecas que salen. Planeo detenerme cuando hayan salido 10 caras más que cecas.

¿Cuántas veces tendré que tirar la moneda, estimativamente?
¿Y si planeara detenerme cuando hayan salido un diez por ciento más caras que cecas?

Sumas primas

¿Habrá algún número primo que, sumado a su reflejado, dé otro número primo? ¿Habrá infinitos quizá?

(El reflejado de un número es el número escrito al revés; por ejemplo, 1327 reflejado es 7231)

Concurso de empaquetamiento de puntos

¿Cuán pequeño puede ser el mínimo círculo que circunde a N puntos, si los puntos tienen que tener coordenadas enteras y no repetir distancias entre ellos?

Tal es el tema del concurso de Al Zimmermann de esta temporada. En este sitio se puede leer las reglas, anotarse y comenzar a enviar soluciones.

Primer juego ralo: Escollatzo

El Escollatzo es un juego basado en la famosa conjetura de Collatz.

Un jugador elige un rango de números naturales, y el otro jugador elige si quiere empezar o ser segundo. Luego, los jugadores se turnan para ir agregando valores a una sucesión de números S, cuyo primer valor S(1) es el menor valor del rango elegido.
Las movidas válidas son las siguientes:

• Siempre puede hacerse S(n+1) = 2·S(n).
  
• Si S(n) es de la forma 3·k+1, con k natural, entonces puede hacerse S(n+1) = k.
  

El primer jugador que se vea obligado a repetir un valor ya tomado por la serie o a tomar un valor fuera del rango elegido es el perdedor.

Como se ve, el factor de ramificación del juego es, en promedio, menor a 2, salvo el tecnicismo de que la elección del rango inicial es una movida con infinitas opciones. Quizá haya alguna manera de eliminar esa pequeña desprolijidad.

Se podrían ensayar múltiples variantes cambiando las reglas de generación de la serie, aunque claro, habría que cambiarle el nombre al juego...