Árboles cuadriculados

El otro día me puse a dibujar árboles siguiendo las líneas de una hoja cuadriculada, como en la figura. (Básicamente, un árbol es un grafo conexo sin ciclos).

¿Cuántos árboles de N nodos se podrán dibujar? (Todas las intersecciones del cuadriculado usadas cuentan como nodos).

Valor predictivo

El valor predictivo de un número natural es K si y sólo si sus primeros K dígitos no nulos "predicen" los demás. La predicción se hace multiplicándolos entre sí.

Por ejemplo:

• El valor predictivo de 326, que denotaremos P(326), es 2, porque 3x2 = 6.
• P(4320024) = 3, ya que 4x3x2 = 24.
  

Si no se puede hacer la predicción, el valor predictivo es nulo; por ejemplo, P(31) = 0.

La pregunta concreta es ¿cuántos números de valor predictivo nulo hay entre uno y un millón?

La pregunta más abstracta es ¿tendrá la serie P(n) alguna propiedad interesante?

Boggle cervantino

Hoy, una idea intrigante de Pablo Coll: ¿Cuál será el menor boggle donde entre el Quijote completo?

Precisemos: un boggle es un tablero cuadrado donde cada casilla contiene una letra. Buscamos el menor en el que se puedan ir leyendo todas las letras del Quijote, saltando de una letra a otra que esté vecina ortogonal o diagonalmente. A los efectos del problema ignoraremos acentos, signos de puntuación y mayúsculas (aunque bien podrían incluirse).

Desde ahí, Pablo generaliza algo temerariamente: imagina un Boggle de Babel, donde pueda leerse cualquier texto finito. ¿Existirá? ¿Qué tamaño tendría que tener?

Recorridos proporcionados

Tenemos un tablero de ajedrez infinito. Colocamos una dama, un rey, una torre, dos alfiles (uno en una casilla blanca y otro en una casilla negra) y un caballo, en seis casillas separadas de nuestra elección.

La misión es ir visitando todas las (infinitas) casillas restantes del tablero, de manera que todas las piezas visiten, en el límite, la misma proporción de casillas.

¿Podrá hacerse?

Otra variante del Tonga

Otra variante del Tonga, que no he probado contra otros jugadores aún pero pinta bien por algunas simulaciones que he hecho:

Juegan dos jugadores, sobre un tablero de ajedrez. Hay, a disposición de ambos, 32 fichas blancas y 32 fichas negras.

Los jugadores se turnan para colocar las fichas sobre casillas vacías. Cada jugador puede poner cualquier ficha, sea blanca o negra (siempre que queden fichas de ese color disponibles, claro).

Uno de los jugadores apunta a construir islas de fichas blancas; el otro, a construir islas de fichas negras. Las islas son grupos de fichas del mismo color, conectadas por los lados (como las cadenas del Go).

Cuando el tablero se llena, el que haya formado la isla más grande de su color gana la partida. Si hay empate, se desempata sucesivamente con islas más pequeñas.

Si alguien lo prueba, no deje de avisar.