Resolviendo el cubo

Todos hemos intentado resolver el cubo de rubik. Algunos con éxito, y a distintas velocidades o con distintos condimentos: con los pies, con los ojos vendados, etc.

Ahora bien, todas las soluciones que conozco requieren girar todas las caras en algún momento.

¿Se podrá resolver el cubo de rubik sin mover algunas de las caras?
¿Cuántas podrán quedarse quietas y aún así poder resolver cualquier posición inicial?

Calculadora defectuosa

A mi calculadora le falta la tecla + y la tecla -, pero tiene las teclas * y /.

¿Hay alguna forma fácil de hacer sumas y restas con ella?

Apretones de mano y besos

Esta es una variación de un conocido acertijo.

El otro día fui a una fiesta con mi novia. Llegamos junto con los demás invitados. Algunos pares personas se saludaron con un beso, otros con un apretón de manos, y otros no se saludaron. Cuando terminaron los saludos, les pregunté a todos cuántos apretones de mano dieron, y cuántos besos. Todos los números que usaron para responderme fueron distintos.

¿Cuál es la menor cantidad de gente que podría haber estado en la fiesta?
¿Habrá una cantidad máxima?

Diccionario trucado

Todos hemos jugado alguna vez a la búsqueda en el diccionario. Consiste en decirle una palabra al otro jugador, y que éste encuentre la página donde está la palabra mirando la menor cantidad posible de páginas.

La estrategia común consiste en una búsqueda binaria, ligeramente modificada para tener en cuenta las cantidades relativas de palabras que comienzan con cada letra.

Ahora bien, supongamos que podemos trucar un diccionario, duplicando a nuestro antojo cualquier página del diccionario cuantas veces querramos, pero siempre poniendo las copias donde deben ir.

¿Qué distribución de cantidades de página será la que haga más difícil para el oponente encontrar la palabra "ingenuo", por ejemplo?

Maximizar las diferencias

El objetivo de este primer problema es ubicar los números del 1 al 15, sin repetirlos, en los círculos del diagrama, de manera que la suma de todas las diferencias absolutas entre números vecinos sea la máxima posible.

Una linda generalización sería encontrar el patrón para ubicar los números de 1 a N para cualquier diagrama basado en un número triangular N.