Los dos arcos

Sobre una esfera elegimos cuatro puntos al azar, y los unimos de a dos con arcos mínimos.
¿Cuál es la probabilidad de que los dos arcos compartan algún punto, como en la imagen?

Histogaritmos

Primero, la definición de histogaritmo (medio rebuscada pero luego de un rato se hace natural).

Supongamos que tenemos una lista no vacía de números. Por ejemplo:

L = [1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4] (ordenar la lista no es necesario, pero es práctico)

Calculamos su histograma H(L), que consiste en las cantidades de cada grupo de números iguales:

H(L) = [1, 2, 3, 3] (porque en L hay 1 cuatro, 2 dos, 3 unos y 3 treses)

y luego hacemos el histograma del resultado:

H^2(L) = [1, 1, 2]

y así siguiendo hasta que llegamos a un resultado con un solo elemento (en este caso, tras tres pasos más):

H^3(L) = [1, 2]

H^4(L) = [1, 1]

H^5(L) = [2]

Como iteramos 5 pasos para llegar a una lista unitaria, decimos que 5 es el histogaritmo de L.

Ahora, el problema:

Dado un natural N, ¿Cómo construir una lista de N elementos que tenga el mayor histogaritmo posible?

Dadivosidad

Este es un juego ralo con azar, con el que soñé anoche. Juegan dos jugadores, usando un dado común.

Uno de los jugadores toma el dado, lo arroja, y decide cuál de estas dos cosas hacer:

• Anotarse los puntos que indica el dado y ceder el turno al otro jugador.
• Anotarle al otro jugador los puntos que indica el dado, pero retener el turno.

Esto se repite una y otra vez (cambiando o no de turno, según las decisiones de los jugadores), hasta que uno de los jugadores llega a 50 puntos, y es declarado ganador.

¿Habrá una estrategia que maximice la probabilidad de ganar para el primero o segundo jugador?

El segmento monocromático

Demostrar o refutar lo siguiente:

De cualquier forma que pintemos el plano con dos colores, siempre habrá un segmento unitario cuyos puntos sean todos de un mismo color.

¿La versión original del Tonga?

He aquí una variante del Tonga que jugué hoy y encontré bastante buena. Es similar a las otras dos variantes que he mencionado pero más libre aún.

• Juegan dos jugadores, sobre un tablero cuadriculado. Puede servir uno de ajedrez.
• Uno de los jugadores apunta a construir islas de fichas blancas; el otro, a construir islas de fichas negras. Las islas son grupos de fichas del mismo color, conectadas por los lados (como las cadenas del Go).
• En su turno, cada jugador coloca dos fichas: una blanca y una negra, en dos casillas desocupadas del tablero.
• Cuando el tablero se llena, el que haya formado la isla más grande de su color gana la partida. Si hay empate, se desempata sucesivamente con islas más pequeñas.

Si mi memoria no falla, fue esta la primera versión que sugirió Iván y que probamos con el Grupo de los Lunes, pero no puedo recordar si la descartamos por algún fallo serio (más allá de cierto problema de simetría que se puede arreglar fácilmente).


Si algún GrupoLunero lee esto agradeceré si me corrige o confirma.