Juegos de Ingenuo

Dominando el tablero de ajedrez

2011-11-19T10:25:00.001-03:00

Queremos dominar un tablero de ajedrez, esto es, cubrirlo con 32 fichas de dominó (como en tantos acertijos clásicos, cada ficha cubre exactamente dos casillas, en posición horizontal o vertical).
Hay muchísimas maneras de hacerlo; sin embargo, cada ficha que colocamos reduce la cantidad de maneras de colocar las siguientes.
La pregunta es: ¿Cuál es la cantidad mínima de fichas que hay que colocar en el tablero para que haya una única manera de colocar el resto de las fichas?
Aclaremos que consideramos a todas las fichas como si fueran indistinguibles; sólo nos interesa su posición relativa en el tablero.

Pseudo-mudanza

2011-09-05T22:01:00.000-03:00

He inaugurado un nuevo sitio donde publicaré, entre otras cosas, acertijos y juegos. Este blog seguirá existiendo y alojará, como siempre, acertijos o juegos que me parezcan suficientemente ingenuos; pero en Garombol pondré material un poco más serio (tampoco esperen demasiado), así como experimentos online que el formato de blog no permita. Pasen y vean.

Burr Tools, una gran herramienta

2011-05-29T20:23:00.000-03:00

Recomiendo este programa a todos los que gusten de inventar problemas de empaquetamiento o cardos.

Norrep

2011-04-01T13:50:00.000-03:00

Update: presenté este juego (con el nombre más rimbombante Zuniq) en este concurso. Espero tener suerte...

Este juego es una linda variante del Dots and Boxes que se me ocurrió hoy. Quizá la haya reinventado sin querer; si alguien vio el juego anteriormente, no deje de avisarme.

Se comienza con un conjunto de puntos marcados, como en la figura.

Por turno, los jugadores unen dos puntos vecinos marcando una línea, siempre en horizontal o vertical.

Cuando queda delimitada una zona, ésta se grisa y ya no se pueden marcar líneas en su interior. Debe tomarse nota de su tamaño en casillas. En este ejemplo se cierra una zona de tamaño 3:

No es importante qué jugador cierra qué zona.

Las zonas pueden tener cualquier forma y contener en su interior líneas anteriormente marcadas. Por ejemplo, luego de varias jugadas más podría cerrarse una zona de tamaño 7:

No está permitido cerrar una zona del mismo tamaño que alguna previamente cerrada.

El jugador que no puede mover es el perdedor.

Pruébenlo, que vale la pena. Recomiendo tableros de 5 puntos de lado para principiantes, y de 10 o más para iniciados.

¿Habrá estrategias simples como la del Dots and Boxes?

Otro de pesadas

2010-12-29T22:50:00.000-03:00

Nos dan cuatro objetos que lucen iguales pero que pesan uno, dos, tres y cuatro kilogramos respectivamente. Nuestra misión es ordenar los objetos por peso usando una balanza de dos platillos, con la condición de que en cada pesada debemos poner dos objetos en cada platillo.

¿Se podrá siempre ordenar los objetos?
¿Cuántas pesadas serán necesarias para hacerlo de forma óptima?

(Obviamente el problema se puede generalizar a 2N objetos con pesos de 1 a 2N, siempre poniendo N objetos en cada platillo en las pesadas.)

Cercos

2010-12-26T01:00:00.000-03:00

Cercos es un juego basado en la idea del Norrep, pero más laxo. Se juega en un papel tachonado de puntos arbitrariamente colocados por ambos jugadores. Recomiendo jugar con no menos de 10 puntos.

Una movida consiste en unir dos puntos del tablero con un segmento recto. Los segmentos sólo pueden compartir punto en sus extremos.

Eventualmente habrá movidas que formen un cerco alrededor de una zona. Cuando se cierra un cerco, ya no se pueden trazar segmentos en su interior.

No importa quién forme un cerco; pero está prohibido formar cercos que tengan el mismo perímetro que algún cerco ya formado. Se define el perímetro de un cerco como la cantidad de segmentos de su borde.

Ejemplo: en la imagen hay de la derecha hay tres cercos, uno de perímetro 4, uno de perímetro 6 (el segmento de su interior no cuenta como borde) y otro de perímetro 14 (los ocho exteriores y los 6 interiores). Obviamente, el exterior se definió después que el interior.

El jugador que en su turno no puede trazar ningún segmento nuevo es el perdedor.

Empaquetando círculos

2010-12-16T15:31:00.001-03:00

Tenemos N círculos, cuyos radios van de 1 a N.
¿Cómo empaquetarlos de manera que quepan (sin solaparse) en el círculo más chico posible?

Update: Al parecer este problema se usó en este concurso hace tiempo.

Plano y colores

2010-12-06T17:49:00.000-03:00

Alguien pintó el plano de 3 colores.

¿Se puede asegurar que habrá siempre 3 puntos equidistantes entre sí y que sean o bien todos del mismo color o bien todos de diferente color?

Duality

2010-11-08T20:20:00.000-03:00

Duality es un pequeño juego experimental, consistente en poblar un tablero con piezas blancas y negras. Cada pieza debe colocarse en un espacio del color opuesto, y se convierte a su vez en espacio de su color.
Pueden jugarlo clickeando en la imagen:

Cualquier sugerencia será más que bienvenida.

Hipercaja

2010-08-27T12:27:00.000-03:00

¿Se puede llenar una hipercaja de 5x6x7x8 con hiperladrillos de 1x2x3x4?

(parafraseado de un problema de la olimpíada Paenza que me comentó Julián)

Escalada

2010-04-03T08:55:00.001-03:00

Escalada es una variación del Zebra, que tiene la ventaja de evitar los empates por juego infinito (el otro día jugamos algunos partidos de Zebra con unos amigos y esa situación se daba bastante).

La variación consiste en prohibir que una ficha pase a una pila de altura menor o igual que la pila en que estaba. O sea, sólo vale mover una pieza si queda a una altura mayor que al comenzar la movida.

Pentominós mutantes

2010-03-20T17:08:00.000-03:00

Este es un pequeño juego de lápiz y papel que probé el otro día, especial para los expertos en pentominós.
En una retícula de 5x5 casillas, se marcan 5 de ellas con circulitos; estas casillas deberán formar uno de los 12 pentominós, a elección de los jugadores (también pueden turnarse para ir trazando los circulitos a partir de una retícula vacía).
Luego, las movidas consisten en tachar un circulito y dibujar otro en una casilla vacía, mutando así el pentominó formado en ese momento. El resultado de la mutación debe ser, por supuesto, otro pentominó. Las casillas ya tachadas no formarán más parte del juego.
El jugador que no pueda formar un pentominó o repita uno ya formado anteriormente es el perdedor.
Conviene dibujar en un papel auxiliar los 12 pentominós para ir marcando los ya usados.
Si se tiene papel cuadriculado, se puede probar una variante: comenzar con una cuadrícula suficientemente grande para no tener límites de tamaño predeterminados.

Juego encontró nombre: Zebra

2010-03-08T22:52:00.005-03:00

(Update: ya me decidí por el nombre: Zebra. ¡Gracias por las sugerencias!)

Hace unos días venía con la idea de hacer un juego que usara un sistema fondo/figura ambiguo: que las piezas de cada jugador fueran el tablero del otro.

Se me ocurrió este juego, que probé varias veces y parece ser interesante.

El tablero (puede ser de 4x4 como en la figura, o más grande) comienza con una torre de una pieza en cada casilla, en disposición de colores alternada.

La pieza superior de una torre (al comienzo las torres son de una sola pieza, pero luego irán creciendo) le da su color a la torre y a la casilla en que está.

En su turno, cada jugador debe mover una pieza propia que esté en el tope de una torre a cualquier casilla vecina (ortogonal o diagonalmente) que sea del color opuesto.

No captura las piezas que allí haya, sino que coloca la suya encima, cambiando así el color de la torre y la casilla, al pasar a ser la pieza superior.

De esta manera las torres van creciendo y decreciendo, pero siempre tendrán piezas de colores alternados en su formación. Sólo importará el color de la pieza superior.

Las casillas que quedan vacías ya no pueden ser ocupadas por ningún jugador.

Cuando un jugador no pueda mover en su turno, el partido termina, y el jugador cuyo color sea el de la mayoría de las torres será el ganador. En caso de empate, gana el último jugador que pudo mover.

No dejen de probarlo, es sencillo de implementar con fichas de Damas o Póker.

Aquí hay una implementación para el programa Zillions of Games.

Armando pentominós

2010-02-12T20:25:00.006-03:00

Tenemos un tablero de 5x5, con fichas blancas y grises, salvo un hueco negro.
Como muestra la figura, en la posición inicial las fichas blancas forman el pentominó I.
El juego consiste en ir desplazando las fichas usando el hueco (como en el juego del 15 de Sam Lloyd) hasta formar otro pentominó con las fichas blancas; luego mover de nuevo las piezas para formar un tercero, etcétera, hasta haber formado los 12 pentominós.

¿Cuál será la cantidad mínima de movidas necesarias?

Concatenando primos

2010-02-11T21:47:00.002-03:00

Tomemos un número, digamos T. Calculamos sus factores primos, y los concatenamos todos de menor a mayor, obteniendo otro número, digamos U. Repetimos el proceso con U, obteniendo V, etc.

¿Llegaremos siempre a un número primo, cualquiera sea el T inicial?

Secuencias buscadoras

2010-01-04T10:45:00.005-03:00

Dada una secuencia numérica infinita S, definimos su buscadora B(S) de la siguiente manera:

Primero concatenamos los dígitos de todos los números de S, formando una ristra infinita de dígitos. Ejemplo: si S es la secuencia de números primos, la ristra comenzaría 23571113171923293137414347...
Luego buscamos, para cada número entero positivo N, la primera aparición de N en la ristra de dígitos. Este índice será el valor N de la buscadora de S, o sea B(S)(N). En el ejemplo, B(S) comenzaría 5, 1, 2, 21, 3...
Si un número no figura en la ristra de dígitos, su valor en B(S) será 0.

La primera pregunta es: ¿de cuál secuencia es buscadora la siguiente secuencia?

1, 6, 8, 2, 7, 5, 59, 14, 3, 16, 15, 19, 102, 1, 91...

La segunda pregunta es: ¿Hay alguna secuencia que sea su propia buscadora? Si las hay, ¿cuántas habrá?

Constelaciones

2009-12-27T01:52:00.004-03:00

Dado un conjunto de puntos sobre el plano, llamo constelación a un recorrido cerrado que una todos los puntos y que no se corte a sí mismo.

El problema es simple: demostrar que todo conjunto de N puntos (N > 2) tiene una constelación, o encontrar algún contraejemplo.

(Update: pueden probar el jueguito que estaba haciendo cuando se me ocurrió la pregunta. El juego usa otro tipo de constelación.)

Segundo juego ralo: Con Permiso

2009-12-10T10:10:00.011-03:00

Update: ya nos parecía que un juego tan elegante y minimalista tenía que existir de antes. De hecho se llama juego de Lewthwaite, aunque dejaremos para este post el nombre Con Permiso porque me gusta más, jeje)

El Con Permiso es el segundo juego en nuestra biblioteca de juegos ralos. Recordemos que un juego ralo es un juego con pocas movidas posibles en cada posición.

El tablero comienza como en la figura; las fichas mueven una casilla en horizontal o vertical. No hay capturas. En el ejemplo, comenzaría a mover el jugador verde.

El objetivo es ahogar al oponente, para que no pueda mover.

Este juego tiene un factor de ramificación promedio de 1.5 aproximadamente, y parece bastante jugable.

¿Habrá estrategia ganadora para alguno de los dos jugadores? Sospechamos que el segundo puede ganar siempre, pero aún no lo demostramos.

¿Cómo será el juego en tableros de distinta forma y/o tamaño?

Otras tres puertas

2009-10-27T14:40:00.003-03:00

Un pequeño acertijo basado en aquellas famosas tres puertas.

Un presentador nos muestra tres puertas cerradas, detrás de las cuales hay premios en efectivo. Los valores de los premios son cantidades enteras de pesos, elegidas al azar entre 1 peso y 100 pesos. Los valores podrían repetirse.

Mientras las tres puertas están aún cerradas, nosotros elegimos una de las puertas.
Luego de nuestra elección, el presentador (que sabe qué premios hay) abre, de las dos puertas restantes, la que tenga el menor premio (si ambas tienen el mismo premio, elige una al azar).

A continuación nos ofrece una elección: podemos seguir con la puerta que habíamos elegido, o cambiar a la otra que aún está cerrada.

¿Qué nos convendrá hacer, en función de lo que veamos tras la puerta que él abre?

Triángulos

2009-10-01T21:03:00.005-03:00

Este problema es una idea derivada de uno que vi aquí. Allí demuestran que ningún triángulo puede tener lados distintos e iguales a tres números de Fibonacci.

Me pregunto: ¿habrá un conjunto más denso que el de Fibonacci que cumpla lo mismo?

Con denso me refiero a haya menos espacio entre términos sucesivos (se puede definir de muchas maneras, pero supongo que entenderán el sentido intuitivo).

Lanzando la moneda

2009-09-09T17:38:00.003-03:00

Arrojo una moneda y voy llevando la cuenta de las caras y cecas que salen. Planeo detenerme cuando hayan salido 10 caras más que cecas.

¿Cuántas veces tendré que tirar la moneda, estimativamente?
¿Y si planeara detenerme cuando hayan salido un diez por ciento más caras que cecas?

Sumas primas

2009-08-13T16:06:00.004-03:00

¿Habrá algún número primo que, sumado a su reflejado, dé otro número primo? ¿Habrá infinitos quizá?

(El reflejado de un número es el número escrito al revés; por ejemplo, 1327 reflejado es 7231)

Concurso de empaquetamiento de puntos

2009-07-22T20:46:00.003-03:00

¿Cuán pequeño puede ser el mínimo círculo que circunde a N puntos, si los puntos tienen que tener coordenadas enteras y no repetir distancias entre ellos?

Tal es el tema del concurso de Al Zimmermann de esta temporada. En este sitio se puede leer las reglas, anotarse y comenzar a enviar soluciones.

Primer juego ralo: Escollatzo

2009-04-26T11:36:00.007-03:00

El Escollatzo es un juego basado en la famosa conjetura de Collatz.

Un jugador elige un rango de números naturales, y el otro jugador elige si quiere empezar o ser segundo. Luego, los jugadores se turnan para ir agregando valores a una sucesión de números S, cuyo primer valor S(1) es el menor valor del rango elegido.
Las movidas válidas son las siguientes:

Siempre puede hacerse S(n+1) = 2·S(n).
Si S(n) es de la forma 3·k+1, con k natural, entonces puede hacerse S(n+1) = k.

El primer jugador que se vea obligado a repetir un valor ya tomado por la serie o a tomar un valor fuera del rango elegido es el perdedor.

Como se ve, el factor de ramificación del juego es, en promedio, menor a 2, salvo el tecnicismo de que la elección del rango inicial es una movida con infinitas opciones. Quizá haya alguna manera de eliminar esa pequeña desprolijidad.

Se podrían ensayar múltiples variantes cambiando las reglas de generación de la serie, aunque claro, habría que cambiarle el nombre al juego...

Juegos ralos: Introducción

2009-04-16T12:00:00.000-03:00

A Pablo Coll le gustan los juegos ralos, y charlando el otro día me contagió el gustito.

Llamamos ralos a los juegos donde el promedio de movidas disponibles en cada posición (el factor de ramificación, o branching factor en inglés) es muy bajo.

El desafío de diseñar un juego ralo que no sea trivial es muy interesante. Una posibilidad es definir un tablero muy chico, pero eso tiene una desventaja: que la cantidad de posiciones es muy baja y el juego se puede analizar exhausitvamente, lo cual le quita algo de gracia.

Otra posibilidad es definir un tablero grande pero limitar la cantidad de piezas presentes y/o la libertad de acción de las mismas, lo cual hace un poco pesado el desarrollo del juego, si consiste en lograr alguna configuración espacial.

Pero hay una posibilidad más intrigante: prescindir completamente de tablero y piezas.

Con esa idea hemos diseñado algunos juegos pequeños, que iremos comentando aquí en futuras entregas.

Uno de pesadas

2009-03-29T18:43:00.005-03:00

Tenemos 14 objetos, de pesos indeterminados.
También tenemos una balanza de dos platillos, con la cual podemos comparar cualquier par de objetos o grupos de objetos, y saber cuál objeto o grupo es el que pesa más.
Queremos ordenar los objetos por peso, y para ello queremos usar la menor cantidad posible de pesadas.
¿Cómo hacerlo?

Prohibido el 7

2009-03-02T23:37:00.004-02:00

Simon Tatham plantea y resuelve un interesante problema: diseñar un par de dados para que al arrojarlos nunca salga el 7, y al mismo tiempo los demás valores del 2 al 12 tengan las mismas probabilidades de salir que con un par de dados normales.

La solución de Tatham es bastante ingeniosa pero algo perturbadora; de manera que me puse a buscar una solución más directa al problema.

Update: Mi solución es hacer dos dados con valores no enteros (admite pequeñas variaciones en los valores):

primer dado: 0.0, 1.2, 2.4, 4.3, 5.5, 6.7

segundo dado: 2.6, 3.7, 4.1, 4.4, 5.7

Una desventaja de esta solución es que requiere usar un dado de 5 caras (o de 10 repitiendo los valores).

Quizá algún lector encuentre otro tipo de solución.

Pequeño acertijo

2009-02-27T20:06:00.001-02:00

Estaba imprimiendo números.

¿Por qué imprimí primero los naturales y luego los reales?

Zigurates

2008-10-30T17:45:00.010-02:00

(nota: Jaime Poniachik planteó la idea de los zigurates lineales, yo sólo modifiqué la dimensión)

Un zigurate es una estructura escalonada similar a una pirámide, pero posiblemente truncada, como la de la figura. Cada piso es cuadrado, y tiene dos ladrillos más de cada lado que el piso superior.

Hay zigurates que son distintos entre sí, pero que usan la misma cantidad de ladrillos. Por ejemplo, el de una sola capa de lado 10 y el de dos capas de lados 8 y 6 usan ambos 100 ladrillos, y son los únicos que usan esta cantidad.

En general, indicaremos con la función Z(n) la cantidad de zigurates distintos que se pueden construir con n ladrillos. Ejemplos: Z(1) = 1, Z(2) = 0, Z(100) = 2.

La mayoría de los valores de Z son 0. Es trivial ver que hay infinitos Z(n) ≥ 1 (por ejemplo, los números cuadrados). Quizá es menos trivial ver que hay infinitos Z(n) = 2.

Conocemos algunos valores de Z iguales a 3 y 4. Es un buen ejercicio tratar de encontrarlos sin computadora. ¿Habrá infinitos?

Aún no encontramos valores mayores. ¿Existirán?

Buscando la libertad

2008-09-17T11:00:00.001-03:00

Este es un juego que se me presentó hoy en sueños.

Dos damas de ajedrez están apresadas en el centro de un tablero lleno de peones que las vigilan.
Cada jugador comanda una de ellas. Se turnan para moverlas normalmente (comiendo peones o moviendo a casillas libres).
Gana el primero que logre que su dama logre la libertad. Esto puede entenderse de varias formas, dando lugar a distintas variantes del juego. Por ejemplo:

Para partidas cortas, la variante espacio personal: gana el jugador que logre mover su dama al centro de una zona de 3x3 casillas vacías.
Para partidas más largas, la variante libertad de movimientos: gana el jugador que logre colocar su dama en una posición tal que no esté vigilada por ningún peón, es decir, que no tenga ningún movimiento de captura.

¿Habrá estrategias simples para ambas variantes?

Árboles cuadriculados

2008-07-08T15:23:00.005-03:00

El otro día me puse a dibujar árboles siguiendo las líneas de una hoja cuadriculada, como en la figura. (Básicamente, un árbol es un grafo conexo sin ciclos).

¿Cuántos árboles de N nodos se podrán dibujar? (Todas las intersecciones del cuadriculado usadas cuentan como nodos).

Valor predictivo

2008-07-05T22:19:00.006-03:00

El valor predictivo de un número natural es K si y sólo si sus primeros K dígitos no nulos "predicen" los demás. La predicción se hace multiplicándolos entre sí.

Por ejemplo:

El valor predictivo de 326, que denotaremos P(326), es 2, porque 3x2 = 6.
P(4320024) = 3, ya que 4x3x2 = 24.

Si no se puede hacer la predicción, el valor predictivo es nulo; por ejemplo, P(31) = 0.

La pregunta concreta es ¿cuántos números de valor predictivo nulo hay entre uno y un millón?

La pregunta más abstracta es ¿tendrá la serie P(n) alguna propiedad interesante?

Boggle cervantino

2008-06-17T01:07:00.002-03:00

Hoy, una idea intrigante de Pablo Coll: ¿Cuál será el menor boggle donde entre el Quijote completo?

Precisemos: un boggle es un tablero cuadrado donde cada casilla contiene una letra. Buscamos el menor en el que se puedan ir leyendo todas las letras del Quijote, saltando de una letra a otra que esté vecina ortogonal o diagonalmente. A los efectos del problema ignoraremos acentos, signos de puntuación y mayúsculas (aunque bien podrían incluirse).

Desde ahí, Pablo generaliza algo temerariamente: imagina un Boggle de Babel, donde pueda leerse cualquier texto finito. ¿Existirá? ¿Qué tamaño tendría que tener?

Recorridos proporcionados

2008-05-26T15:41:00.005-03:00

Tenemos un tablero de ajedrez infinito. Colocamos una dama, un rey, una torre, dos alfiles (uno en una casilla blanca y otro en una casilla negra) y un caballo, en seis casillas separadas de nuestra elección.

La misión es ir visitando todas las (infinitas) casillas restantes del tablero, de manera que todas las piezas visiten, en el límite, la misma proporción de casillas.

¿Podrá hacerse?

Otra variante del Tonga

2008-05-03T21:42:00.005-03:00

Otra variante del Tonga, que no he probado contra otros jugadores aún pero pinta bien por algunas simulaciones que he hecho:

Juegan dos jugadores, sobre un tablero de ajedrez. Hay, a disposición de ambos, 32 fichas blancas y 32 fichas negras.

Los jugadores se turnan para colocar las fichas sobre casillas vacías. Cada jugador puede poner cualquier ficha, sea blanca o negra (siempre que queden fichas de ese color disponibles, claro).

Uno de los jugadores apunta a construir islas de fichas blancas; el otro, a construir islas de fichas negras. Las islas son grupos de fichas del mismo color, conectadas por los lados (como las cadenas del Go).

Cuando el tablero se llena, el que haya formado la isla más grande de su color gana la partida. Si hay empate, se desempata sucesivamente con islas más pequeñas.

Si alguien lo prueba, no deje de avisar.

Distribución de letras

2008-04-15T18:29:00.004-03:00

Esta máquina de escribir antigua usaba, en lugar de teclado, un dial semicircular. Moviendo una aguja se señalaba la letra a escribir, y apretando un botón se imprimía dicha letra. Otro botón hacía mover el carro para poner los espacios.

No queda claro en el dibujo cuál era la distribución de las letras en el dial; por lo tanto podemos imaginar el siguiente problema:

Suponiendo que la aguja empieza en un extremo del dial, ¿Cómo deberíamos disponer las letras de manera que, al tipear el Quijote, la aguja recorra la menor distancia posible?

La taza inclinada

2008-04-09T19:38:00.006-03:00

Este es un problema sacado del mundo real.

Mi amigo Javier tiene una cafetera, y tazas con forma de cono truncado. En la figura se ve la taza de perfil. Tanto la base como el fondo son círculos.

Cuando mi amigo quiere meter o sacar la taza de la cafetera, debe inclinarla un cierto ángulo. ¿Cuánto café puede servir, como máximo, para que al retirar la taza no se vuelque café? La parte sombreada de la figura representa el café cuando la taza está inclinada.

Una variante del Tonga

2008-04-07T00:14:00.005-03:00

El Tonga es un interesante juego de tablero creado por el Grupo de los lunes. Pruébenlo; es muy interesante.

He aquí una variante del juego, que probamos algunos de los miembros del grupo el otro día. Aún no tiene nombre, aunque se podría llamar Tonga Libre o algo por el estilo.

Juegan dos jugadores, sobre un tablero cuadriculado. Puede servir uno de ajedrez.

Uno de los jugadores apunta a construir islas de fichas blancas; el otro, a construir islas de fichas negras.

Las islas son grupos de fichas del mismo color, conectadas por los lados (como las cadenas del Go).

En cada turno, un jugador señala dos casillas, y el otro coloca en una de ellas una ficha blanca, y en la otra una ficha negra. En turnos sucesivos van intercambiando roles.
Otra manera de pensarlo es la siguiente: el jugador de turno coloca las dos fichas donde le plazca, y su oponente puede, si lo desea, intercambiarlas de lugar.

Cuando el tablero se llena, el que haya formado la isla más grande de su color correspondiente gana la partida. Si hay empate, se desempata sucesivamente con islas más pequeñas.

No hicimos muchas partidas, pero parece un juego interesante. Si alguien lo prueba y descubre alguna particularidad del juego, no deje de avisar.

El puntaje, parte 2

2008-02-26T13:46:00.003-02:00

Otro juego de preguntas y respuestas asigna puntaje al jugador de acuerdo a este sistema:

El puntaje inicial es de un punto.
Con cada respuesta correcta, el participante duplica su puntaje.
Con cada respuesta equivocada, el participante pierde un punto.

Tras una ronda de 20 preguntas, ¿Cuántos puntajes distintos puede obtener un jugador?

Y generalizando: ¿Cómo es la serie de cantidades de puntajes posibles en funcion de la cantidad de preguntas?

El puntaje

2008-01-31T15:40:00.000-02:00

Un juego de preguntas y respuestas asigna puntaje al jugador de acuerdo a este sistema:

El puntaje inicial es de cero puntos.
Con cada respuesta correcta, el participante suma un punto.
Con cada respuesta equivocada, su puntaje se divide por dos (se considera el puntaje como numero real, no necesariamente entero).

Dos caballos

2007-12-28T17:56:00.001-03:00

Esta es una variante de un problema que leí en Mathemagics & Math Puzzles.

Tenemos un tablero de ajedrez y dos caballos. Podemos colocar los caballos en dos casillas diferentes cualesquiera.

Empezamos a moverlos, pero con la condición de que nunca pueden pisar una casilla ya pisada por alguno de ellos.

¿Cuál será la secuencia de movidas más larga que podamos hacer?

¿Y si fueran un caballo y una torre?

¿Y si fueran otras dos piezas cualesquiera?

Las hormigas

2007-11-21T13:39:00.000-03:00

Tres hormigas puntuales caminan por un campo cuadrado, con velocidad constante y rebotando perfectamente en sus bordes.

Para cada valor natural de K, queremos encontrar puntos iniciales, velocidades y direcciones para las hormigas, tales que haya exactamente K puntos distintos del cuadrado en los que las hormigas coincidan, caminando lo suficiente.

¿Se podrá hacer para todo K?

Una vez logrado para cierto K, ¿coincidirán las hormigas una cantidad finita o infinita de veces en esos puntos?

Álgebrol

2007-10-11T20:29:00.001-03:00

Álgebrol es un juego algebraico para dos jugadores. El tablero es un árbol binario completo como el de la figura (o más grande, si los jugadores tienen paciencia).
Se juega por turnos. En su turno, un jugador puede poner un dígito cualquiera en una de las hojas (los que no tienen «hijos») o bien una operación en cualquier otro nodo. Las operaciones permitidas son + (suma), - (resta), * (producto), / (cociente) y ^ (potencia).

Cuando el árbol está lleno, se lo evalúa.
Por ejemplo, en esta partida:

la expresión correspondiente es ((2+6)+(8^1))-((0/9)+(9*3)), cuyo resultado es -11.

Uno de los jugadores gana si el resultado final es positivo, y el otro gana si es negativo. Los roles se pueden elegir al comenzar el partido, o se puede jugar sin roles iniciales, y cualquiera de los jugadores puede resignar una movida a cambio de decidir cuál es su objetivo.

Si la expresión no puede ser evaluada (ya sea porque contiene una división por cero o alguna potencia ilegal) se declara empate.

Hackenstrings bidireccional

2007-09-11T11:30:00.000-03:00

Este juego es una versión bidireccional del Hackenstrings.

Se comienza con varias hileras de piedras blancas y negras. Se juega por turnos.

El jugador izquierdo puede tomar, en su turno, cualquier piedra blanca y todas las que estén a su izquierda (en una sola hilera).
El jugador derecho puede tomar cualquier piedra negra y todas las que estén a su derecha (en una sola hilera).

El que no puede jugar en su turno, pierde.

¿Habrá una estrategia general del juego?

Blanqueando el tablero

2007-06-06T14:30:00.001-03:00

Tenemos un tablero de ajedrez, y lo vamos transformando con la siguiente mecánica.

En cada movida, elegiremos dos casillas cualesquiera del tablero; estas casillas definirán un cuadrilátero de casillas, a todas las cuales cambiaremos de color: de blanco a negro y de negro a blanco.

¿Cuántas movidas serán necesarias, como mínimo, para dejar todas las casillas blancas?

Uniendo triángulos

2007-05-31T19:01:00.000-03:00

Tenemos 13 triángulos equiláteros iguales entre sí. Fijamos uno de ellos al plano, y vamos fijando los demás uno por uno, de manera que uno y sólo uno de sus lados coincida exactamente con un lado de un triángulo ya fijado.

¿Cuántas figuras distintas podremos armar?

Los dos premios

2007-05-02T14:36:00.000-03:00

Este problema está inspirado en algunos de Raymond Smullyan. Por supuesto, sus problemas son mucho mejores que este.

En un concurso hay dos premios, el A y el B. El participante debe formular un enunciado. Si el enunciado es cierto, entonces gana uno de los dos premios (el presentador elige cuál) ; si el enunciado es falso, entonces gana el premio B.

¿Qué enunciado debe formular el participante para asegurarse de ganar el premio A? Si no existe tal enunciado, demostrarlo.

Boggle numérico

2007-04-27T19:36:00.000-03:00

Queremos armar un Boggle donde se puedan leer los números del uno al millón (en notación decimal).

¿De qué tamaño deberá ser el tablero, como mínimo?

Rotando sumas

2007-04-18T12:38:00.000-03:00

Tomemos un cuadrado de 3x3 lleno de dígitos y sumemos las filas como si fueran tres números de tres cifras:

Ahora giremos el cuadrado para obtener tres nuevas sumas:


 324    437    708    853
 553    250    355    052
 807    358    423    734
----   ----   ----   ----
1684   1045   1486   1639

El problema que propongo hoy es lograr cuatro sumas diferentes, pero lo más cercanas entre sí que podamos. Es decir, minimizar la diferencia entre la mayor y la menor de las sumas.

Ajedrez pacifista

2007-04-11T23:04:00.001-03:00

En el ajedrez pacifista, las piezas no deben comer ni amenazar jamás una pieza ajena. El jugador que se ve forzado a amenazar una pieza ajena, pierde.

¿Cuál es la partida más breve posible de ajedrez pacifista?

(Aclaración: la última movida debe ser forzada.)

Concurso televisivo

2007-03-09T16:16:00.000-03:00

Dos jugadores se enfrentan en un programa televisivo.
El premio por el cual compiten es, al principio, de 1000 pesos.
Cada jugador arroja tres dados, suma los puntajes, y decide si tira de nuevo o se planta. Ningún jugador sabe cuántas tiradas hace el otro antes de plantarse, ni los puntajes que va sacando. Cada vez que un jugador decide tirar de nuevo, el premio se reduce a la mitad.
Cuando ambos se han plantado, el que obtuvo la suma más alta en su última tirada gana el premio. Si empatan, se lo reparten.

¿Cuál será la estrategia más racional para jugar a este juego?

Aclaración: se supone que los jugadores no se ponen de acuerdo, y que su objetivo es ganar la mayor cantidad de dinero.

Resolviendo el cubo

2007-02-23T19:14:00.000-03:00

Todos hemos intentado resolver el cubo de rubik. Algunos con éxito, y a distintas velocidades o con distintos condimentos: con los pies, con los ojos vendados, etc.

Ahora bien, todas las soluciones que conozco requieren girar todas las caras en algún momento.

¿Se podrá resolver el cubo de rubik sin mover algunas de las caras?
¿Cuántas podrán quedarse quietas y aún así poder resolver cualquier posición inicial?

Calculadora defectuosa

2007-02-16T23:05:00.000-03:00

A mi calculadora le falta la tecla + y la tecla -, pero tiene las teclas * y /.

¿Hay alguna forma fácil de hacer sumas y restas con ella?

Apretones de mano y besos

2007-02-08T14:25:00.000-03:00

Esta es una variación de un conocido acertijo.

El otro día fui a una fiesta con mi novia. Llegamos junto con los demás invitados. Algunos pares personas se saludaron con un beso, otros con un apretón de manos, y otros no se saludaron. Cuando terminaron los saludos, les pregunté a todos cuántos apretones de mano dieron, y cuántos besos. Todos los números que usaron para responderme fueron distintos.

¿Cuál es la menor cantidad de gente que podría haber estado en la fiesta?
¿Habrá una cantidad máxima?

Diccionario trucado

2007-02-06T16:26:00.000-03:00

Todos hemos jugado alguna vez a la búsqueda en el diccionario. Consiste en decirle una palabra al otro jugador, y que éste encuentre la página donde está la palabra mirando la menor cantidad posible de páginas.

La estrategia común consiste en una búsqueda binaria, ligeramente modificada para tener en cuenta las cantidades relativas de palabras que comienzan con cada letra.

Ahora bien, supongamos que podemos trucar un diccionario, duplicando a nuestro antojo cualquier página del diccionario cuantas veces querramos, pero siempre poniendo las copias donde deben ir.

¿Qué distribución de cantidades de página será la que haga más difícil para el oponente encontrar la palabra "ingenuo", por ejemplo?

Maximizar las diferencias

2007-02-03T21:20:00.000-03:00

El objetivo de este primer problema es ubicar los números del 1 al 15, sin repetirlos, en los círculos del diagrama, de manera que la suma de todas las diferencias absolutas entre números vecinos sea la máxima posible.

Una linda generalización sería encontrar el patrón para ubicar los números de 1 a N para cualquier diagrama basado en un número triangular N.